الانحراف المعياري

التباين والانحراف المعياري:

طرق حساب الانحراف المعياري حساب الانحراف المعياري من البيانات المبوبة
سبق أن ذكرنا بأن مجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي صفر وقولنا المجموع يساوي الصفر يعني وجود فروق سالبة وأخرى موجبة وللتخلص من الفروق السالبة قمنا بأخذ الانحراف المطلق أي بضرب الفرق السالب بسالب 1 وعرفنا ذلك بالانحراف المتوسط وتوجد طريقة أخرى للتخلص من الفروق السالبة هذه وذلك بتربيعها لتصبح موجبة ومجموع مربعات الانحرافات للقيم عن وسطها الحسبي يعرف بالتباين (Variance) في حين الجذر ألتربيعي لهذا المجموع (مجموع مربعات الانحرافات) يعرف بالانحراف المعياري (Standard Deviation) ، فالتباين أحد مقاييس التشتت.
التباين:
هو مقياس لاختلاف البيانات وتشتتها، وهو متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي، ويرمز له بالرمز S2 ويحسب من الصيغة الرياضية الآتية:

S2 = [ ∑ (xi –`X )2] / n , i = 1, 2, 3, ..., n
ويمكن القسمة على n – 1 في حالة العينة وهو ما يعرف بالقيم الحرة أو درجات الحرية حيث القيمة المتبقية من n يكمل انحرافها عن الوسط الحسابي للصفر لأن مجموع انحرافات القيم عن وسطها يساوي الصفر.

S2 = [ ∑ (xi – `X )2] / ( n – 1 ) , i = 1, 2, 3, ..., n
أما في حالة المجتمع فنستخدم الصيغة الرياضية الآتية:

σ2 =[ ∑ (xi – μ )2] / N , i = 1, 2, 3, ..., N
حيث S2 تباين العينة ، σ2 تباين المجتمع.
التباين يتعامل مع مربع الانحراف عن الوسط وهذا يعطي قياس غير ذو معنى مثل مربع الكيلوجرام أو مربع الدينار ولذا يفضل إرجاع ذلك (بأخذ الجذر التربيعي) للمعنى المقبول مثل الكيلوجرام والدينار وما إلى ذلك من وحدات وهذا الجذر ألتربيعي هو الانحراف المعياري لعينة ما.
الانحراف المعياري:
ببساطة نقول إن الانحراف المعياري هو الجذر ألتربيعي للتباين، ومن الملاحظ أن التباين يقاس بالوحدات المريعة وليس بوحدات المتغير والانحراف المعياري يقاس بنفس وحدات المتغير محل ظاهرة الدراسة.
الانحراف المعياري هو أفضل مقاييس التشتت وأشهرها استخداماً بالرغم من صعوبة حساباته حال كبر حجم العينة ولكن الحاسب الآلي سهل هذه الصعوبة.
تستخدم الصيغ الرياضية السابقة لحساب الانحراف المعياري سواء S للعينة أو σ للمجتمع
معامل الاختلاف:
يستخدم لمقارنة التشتت بين مجموعتين (المتغيرات النفسية) وذلك للاختلاف الواضح في الوسط الحسابي لمجموعتين من حيث القيمة فصغر الوسط الحسابي في المجموعة الأولى في مقابل كبره في المجموعة الثانية وهو النسبة المئوية بين الانحراف المعياري والوسط الحسابي وبالتالي لا يعتمد على وحدات المتغير الأصلي وبالتالي يمكن استخدامه لمجموعتين مختلفتين في الوحدات، ويحسب من الصيغة الرياضية الآتية: معامل الاختلاف = 100( الانحراف المعياري ÷ الوسط الحسابي)
طرق حساب الانحراف المعياري:
أولاً: بيانات غير مبوبة
مثال:
احسب كلاً من التباين والانحراف المعياري للقيم i 12 ، 15 ، 11 ، 17 ، 18 ، 20 ، 19
الحل:الحل باستخدام SPSS
نكون جدول المعلومات التالي:

( Xi –`X )2
( Xi –`X )
Xi1612 – 16 = –412115 – 16 = – 1152511 – 16 = – 511117 – 16 = 1 17418 – 16 = 2 181620 – 16 = 4 20919 – 16 = 3 19∑ ( Xi –`X )2 = 72`X = 112/7 = 16∑ Xi = 112


نحسب التباين من القانون أعلاه:
S2 = [ ∑ (xi – `X )2] / ( n – 1 )
= 72 / 6
= 12
الانحراف المعياري يساوي الجذر ألتربيعي للتباين أي:
S.D = 3.46
حل آخر باستخدام القيم دون الوسط الحسابي بعد وضع القانون أعلاه في صورة جديدة كما يأتي:

S2 = [ ∑ (xi – `X )2] / ( n – 1 )
∑ (Xi –`X )2 = ∑ ( Xi2 – 2 Xi`X + (`X )2 )
2`X constant (in sample) Then ∑ 2 Xi`X = 2`X ∑Xi
∑ (Xi –`X )2 = ∑ (Xi2 ) – 2`X ∑(Xi) + ∑(`X )2
`X = ∑(Xi) / n Then ∑(Xi) = n`X ,∑(Xi)2 = n2(`X )2 → (∑Xi )2 / n = n2(`X )2 / n = n`X2
= ∑ (Xi2 ) – 2n(`X )2 + n(`X )2
= ∑ (Xi2 ) – n(`X )2 ,`X = ∑(Xi) / n → `X2 = ∑(Xi)2 / n2 →( n بالضرب في ) → n`X2 = (∑Xi )2 / n
= ∑ (Xi2 ) – (∑Xi)2 / n
S2 =[∑ (Xi2 ) – (∑Xi )2 / n]/ ( n – 1 ) ... (1)
Or
S2 =[( ∑Xi2 ) – n`X2 ]/ ( n – 1 ) ... (2)
الجدول الآتي هو تعديل للجدول أعلاه:

Xi2
Xi 14412 22515 12111 28917 32418 40020 36119∑ Xi2 = 1864
∑ Xi = 112

بتطبيق هذه الصيغة رقم (1):

S2 =[∑ (Xi2 ) – (∑Xi )2 / n]/ ( n – 1 )
S2 =[1864 – (112 )2 / 7]/ (7 – 1 )
S2 =[1864 – 1792]/ 6
S2 =72/ 6
S2 =12 التباين
الانحراف المعياري هو الجذر ألتربيعي للتباين أي:
S.D = 3.46

Or
بتطبيق هذه الصيغة رقم (2):

S2 =[( ∑Xi2 ) – n`X2 ]/ ( n – 1 )
S2 =[1864 – 7(16 )2]/ (7 – 1 )
S2 =[1864 – 1792]/ 6
S2 =72/ 6
S2 =12 التباين
الانحراف المعياري هو الجذر ألتربيعي للتباين أي:
S.D = 3.46

حساب الانحراف المعياري من البيانات المبوبة:
سنبين ذلك من خلال المثال التالي وكما ورد في المثال السابق من طريقتين إحداهم باستخدام الوسط الحسابي (الطريقة المطولة) والأخرى بدون الوسط الحسابي (الطريقة المختصرة) وبالتالي سيكون لدينا الصيغ الرياضية الآتية للتباين والانحراف المعياري للبيانات المبوبة:



حيث I طول الفئة ، D الانحراف عن الوسط الفرضي وهو القيمة التي في مركز الفئة التي تقابل أكبر تكرار ونتائج الانحرافات أعداد صحيحة
مثال:
احسب التشتت باستخدام الانحراف الانحراف من جدول التوزيع التكراري الآتي والذي يبين درجات 30 طالب في امتحان ما.

Total24 – 2621 – 2318 – 2015 – 1712 – 14الفئات30271083التكرار
الحل:الحل باستخدام SPSS
نكون الجدول الشامل للبيانات المطلوبة للصيغ الرياضية الخاصة بالانحراف المعياري و باستخدام الصيغة (1) أعلاه:
نجد أن:

fi Xi2Xi2fi XiXifiالفئات5071693913312 – 14204825612816815 – 173610361190191018 – 20338848415422721 – 2312506255025224 – 26108031895561 30Total

الانحراف المعياري = 3.28
تنبيه:
312.3 ÷ 30 = 10.41 ويكون الانحراف المعياري = 3.23 كما هو مطابق للحلين الآخرين أدناه

يمكن استخدام الصيغة رقم (2) أعلاه لحساب الانحراف المعياري كما يلي
نكون الجدول الشامل للبيانات المطلوبة للصيغ الرياضية الخاصة بالانحراف المعياري و باستخدام الصيغة (2) أعلاه نجد أن:

`X = 561 / 30
= 18.7

fi ( Xi –`X )2( Xi –`X )2( Xi –`X )fi XiXifiالفئات 97.47 32.49 – 5.73913312 – 14 58.32 7.29 – 2.712816815 – 17 0.90 0.090.3190191018 – 20 76.23 10.893.315422721 – 23 79.38 39.696.35025224 – 26 312.3 90.45 561 30Total

يمكن استخدام الصيغة رقم (2) أعلاه لحساب الانحراف المعياري كما يلي
نكون الجدول الشامل للبيانات المطلوبة للصيغ الرياضية الخاصة بالانحراف المعياري و باستخدام الصيغة (2) أعلاه نجد أن:

`X = 561 / 30
= 18.7

fiXi2Xi2fi XiXifiالفئات5071693913312 – 14 2048 25612816815 – 17 3610 361190191018 – 20 3388 48415422721 – 23 1250 6255025224 – 26 10803 561 30Total




الحل باستخدام الوسط الفرضي
من مركز الفئة العدد 19 المقابل لأكبر تكرار (10)


fi (Di + 1)2fi Di2fiDD=(19 – Xi)/319 – XiXifiInterval3 12– 6– 2– 613312 – 140 8– 8– 1– 316815 – 1710 0 000191018 – 2028 7 71322721 – 2318 8 42625224 – 2659 35– 3 0 30Total
تنويه: 1) يمكن الاستغناء عن العمود الرابع من اليسار لكون العمود الخامس ثابت للوسط الفرضي المختار من مركز الفئات

2) توجد معادلة للتأكد من صحة العملية الحسابية السابقة وهي:

∑fi (Di + 1)2 = ∑fi Di2 + 2∑fiD + n
∑fi (Di + 1)2 = 59 من العمود الأخير
∑fi Di2 + 2∑fiD + n = 35 – 6 + 30
= 59

الفريق الاحمر

تسلم الايادي ويعطيك العافية
على روعة طرحك الجميل
في انتظار لكل جديدك دوما

تسلم الايادي
ولآحرمنا جزيل عطائك
دمتي ودام نبض متصفحك متوهجاً
لروحك جنائن الورد
واأمنيات بايام أجمل

كلمات الثناء لا توفيكم حقكم
، شكرًا لكم على مروركم الكريم
تقديري

طررح يفوق آلجمآل ,
‎كعآدتك إبدآع في صفحآتك ,
‎يعطيك آلعآفيـه يَ رب ,
‎وبِ إنتظآر المزيد من هذآ الفيض ,
‎لقلبك السعآده والفـرح ..
‎ودي

يعطيك العافيـــه لطرحك المميــز
بآنتظار المزيــد من جديدك الراقي
آعذب التحايـــا